지난 포스팅에서는 구간 \(a\)과 \(b\)사이에서 함수의 적분값을 수치적으로 구하는 과정을 정리했습니다. 이번에는 구간 \(0\)와 \(\infty\)사이에서 함수의 적분값을 수치적으로 구하는 방법을 설명하도록 하겠습니다.

배운 것을 활용하자

이번에는 구간 \([0, \infty ]\) 사이에서 함수 \(g(x)\)를 적분하려고 합니다. 마찬가지로, 앞에서 배운 \([0, 1]\) 사이에서 함수 \(h(u)\)를 적분하는 방법을 사용하면 됩니다. 다만 구간을 맞춰줘야 하는데 \([a, b]\)에서 적분했던 방법을 떠올려보면, 먼저 적분구간이 다르므로 구간을 맞춰주고 그에 맞춰서 함수 \(g(x)\)를 어떻게 변형하면 되는지 생각해보면 됩니다.

즉, 함수 \(g(x)\)를 함수 \(h(u)\)로 변형하는데 다음 조건을 만족해야 합니다.

$$ \int_{0}^{\infty}g(x)dx = \int_{0}^{1}h(u)du $$

함수를 변형하자

먼저 적분구간이 다르므로 이를 맞춰줍시다. 구간 \([0, \infty ]\)를 구간 \([0, 1]\)로 맞추려면, \(x\)가 \(0\) 일 때 \(1\)이 되고, \(x\)가 \(\infty\) 이면, \(0\)이 되면 됩니다. \(\infty\) 를 \(1\)로 변환하는 것보다, \(0\)으로 변환하는 것이 편하기 때문입니다. 이런 변환을 생각해보면, 다음과 같습니다

$$ u = \frac{1}{x + 1}, du = -u^2 dx $$

따라서 함수 \(g(x)\)의 구간을 \([0, \infty ]\)에서 \([0, 1]\)사이로 바꾸면 원래의 함수는 다음처럼 변형됩니다.

$$ \int_{a}^{b}g(x)dx = \int_{0}^{1} \frac{g(\frac{1}{u} - 1)}{u^2} du $$

여기서 \(u\)는 표준균일분포에서 생성한 난수입니다.

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다음 시간에는 다중적분을 소개하도록 하겠습니다.